독립(Independence)과 이항확률(Binomial Probabilities)

독립(Independence)

어떤 두 사건이 독립이다

사건 A, B가 독립이면 다음을 만족하는 것이다.

1. $P(A\cap B) = P(A)P(B)$
2. $P(A|B) = P(A)$ (event B가 일어난 것이, A에 영향이 없다)

A, B가 Disjoint => A, B Independent ? (사건 A, B가 서로소이면 독립?)

• 당연히 아니다. 오히려 정반대에 가깝다.
• pf) $P(A), P(B) > 0$ and each Disjoint $=> P(A\cap B) \ne P(A)P(B) >0$ 독립 성질을 만족하지 못한다.

어떤 집단의 독립

$A_1, ... A_n$이 전부 서로 독립이려면,
==2개끼리, 3개끼리, 4개끼리, ... , n개끼리 "전부" 독립==인 경우여야 한다.
예시는 3개 사건, 4개 사건의 독립이 성립할 조건이다.

다음과 같은 예시는 서로 독립이 아니다.

1. 2개 끼리($P(A_i\cap A_j) = P(A_i)P(A_j)$)는 전부 성립하지만 3개 끼리는($P(A_i\cap A_j \cap A_k) \ne P(A_i)P(A_j)P(A_k)$) 성립하지 않을 때.
2. 3개 끼리는 성립하지만, 2개끼리 성립하지 않을 때.

=> 핵심은 조건에 명시된 것처럼 "전부 빠짐없이" 독립이여야 한다는 것이다.

이항 확률(Binomial Probabilites)

다음과 같은 조건 하에 확률을 계산할 수 있는 공식이다.

• Independent trials(독립 시행)
  : 매 시행 발생하는 모든 사건들이 서로 독립이다.
• Bernoulli trials(베르누이 시행)
  : 매 시행 발생하는 사건이 두 가지로, 하나가 안되면 반드시 다른 하나인(서로 독립) 경우이다.
  (ex) 코인 토스, yes or no로 대답 가능한 사건들..

다음은 베르누이 시행 예제인 3번의 코인 토스이다.

번외: 이항 확률의 예시들