전확률 공식, 베이즈 정리

전 확률 공식(Total Probability Theorem)

$A_1, ... A_n$이 $\Omega$의 분할(Partition)이고, $P(A_i) > 0, \forall i$라고 하자.
그러면 다음이 성립한다.
$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+...+P(A_n)P(B|A_n)$$
증명은 다음과 같다. 위의 가정과 공리 2번을 사용한다.

그림으로는 이런 식이다. (최소 그림이라도 기억하라)

Example 1)

1 대 1 토너먼트. 팀 유형에는 3가지 타입(공격적, 수비적, 균형적)이 있다.
vs Type-1 승률: 0.3
vs Type-2 승률: 0.4
vs Type-3 승률: 0.5
전체 팀들의 타입 비율은 다음과 같다.
Type-1 : Type-2 : Type-3 = 2 : 1 : 1
상대 팀은 랜덤하게 정해진다.

베이즈 법칙과 추론(Bayes's Rule and Inference)

$A_1, ... A_n$이 $\Omega$의 분할(Partition)이고, $P(A_i) > 0, \forall i$라고 하자.
그러면 P(B) > 0인 모든 사건 B에 대하여 다음이 성립한다.
$$P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(A_1)P(B|A_1)+...+P(A_n)P(B|A_n)}$$

이건 어따 써먹음? :

역확률(Inverse Probability)을 구하기 위해서.
P(B|A)를 알고 있을 때, P(A|B)를 구하기 위해서.
예)
병에 걸린 사람을 조사해서, 양성 뜰 확률이 90%인 것이
아무 사람 양성 떴다고 걸렸을 확률이 90%이냐? 그게 아니거든.
그러니까 사람들은 '나 조사해서 양성이 떴는데 나 병 걸렸을 확률 90%임?'이 중요한거거든.

수학적 예시는 아까 팀 게임 예시에서, 질문을 바꿔서(역확률) 해보겠다.
'B = 이길 확률'에서 내가 이겼는데, 내가 이긴 팀이 Type-i(1, 2, 3)일 확률은?